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RESOLUCION  DE  ECUACIONES  CON  NUMEROS  ENTEROS.

            Una  ecuación  es  una  expresión  matemática  relacionada  con  el  signo  =  en  la  cual  hay  letras  que  se  llaman  incógnitas  y  el  objetivo  es  hallar  un  valor   para  esa  incógnita  que  haga  que  se  cumpla  la  condición  de  igualdad.

 

POR  EJEMPLO:

                                     x + 5 = 0

 

Hay  que  buscar  un  valor  para  la  incógnita. Las  incógnitas se  pueden  expresar  mediante  cualquier  letra,  generalmente  se  usa  la  X,  Y,  ó  Z.

 

Dicho  valor  es:

                                   x = -5

 

porque  si  reemplazo  a  la  x  por  -5  quedaría :

 

                                   -5 + 5 = 0                                  

 

Cuando  x = -5  se  cumple  la  igualdad  si, por  ejemplo,  hubiese  puesto  x = -4  no  se  cumpliría:

 

                                    -4  + 5  =  0

                                          1    =   0     NO SE  CUMPLE  LA  IGUALDAD                           

 

Se  dice  entonces  que  la  solución  para  la  ecuación   x  +  5  =  0  es:   x  =  -5

 

Ecuaciones equivalentes:

 

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, por ejemplo:
5x=4x+3;  es equivalente a  5x-4x=3; pues si reemplazamos a ambas por x=3, comprobaremos que se cumplen, ambas igualdades, veamos para la primera:

                                  

 

Para la segunda:


 

 

 

Las ecuaciones sencillas se resuelven transformándolas en otras equivalentes, por consecuencia de la ley de uniformidad de las operaciones con números enteros, que no explicaremos en este apunte, simplemente daremos unas cuantas reglas prácticas para resolver ecuaciones.

 

  REGLA  PRACTICA:

Para  poder  encontrar  la  solución  de  una  ecuación  se  hace  lo  que  se  llama  despejar  la  x o  sea  dejar  a  la  misma  sola   de  un  miembro  de  la  igualdad.

 

A)  Cuando  la  x  está  acompañada  por  números  que  están  sumando  o  restando  entonces  los  mismos  pasan  al  otro  miembro  con  la  operación  inversa  con  la  que  operan.

 

 

EJEMPLO 1 :

 

x + 4 = 2      Pasamos  el  4  al  otro  miembro  de  la  igualad  pero  como  está  sumando  lo  pasamos  restando.

  x = 2 - 4       Hacemos  la  cuenta  y  nos  queda

x  = -2         

 

Verificación:

Para  saber  si   la  solución  es  la  correcta   reemplazamos  el  valor  de  x  en  la  igualdad

  -2 + 4 = 2

     2   = 2

 

  EJEMPLO 2 :

 

x + 2 - 3 = 4 + 5     Pasamos  el  2  que  como  está  sumando  pasa  restando

x - 3 =  4 + 5 - 2     Pasamos  el  3  que  como  está  restando  pasa  sumando

x  =  4 + 5 - 2 + 3   Hacemos  la  cuenta

x  =  10

 

Verificación:

 

Para  verificar  reemplazo  en  la  ecuación  el  valor  hallado

 

10 + 2 - 3 = 4 + 5

          9   =   9         Queda  verificada  la  solución.

 

 

EJERCITACION:

 

1)  3 +  2 - 5 + x = 2 + 1 - 3                                      x = 0

 

2)  -2 + 6 -12  =  x  + 5 - 1                                        x = -12

 

3)  2 +  6 - 1   =  x + 6 - 4                                         x  =  5

 

4)  -5 - 6  + x  =  5  - 8 + 3                                        x = 11

 

5)  6 - 9 + x  + 9  =  2 - 6                                           x = -10

 

6)  6  -  9 - 3  =  4 + x +3 - 5                                      x = -8

 

7)  2 + 5 - 9 = 2 + x - 6 - 8                                          x = 10

 

8)  2  + 9  + 6 - 9 = x + 3 - 5                                        x  = 10

       

 9)  9 - 5 + 6 +x  =  -5 -9 +3                                           x = -21  

                                                   

  B)  Cuando  la  incógnita  es  multiplicada o dividida por un número,  el  mismo  pasa  al  otro  miembro  con  la  operación  inversa  o  sea  si  está  multiplicando  pasa  dividiendo  y  si  está  dividiendo  pasa  multiplicando.

 

  EJEMPLO  1:

  2 x  =  4                 Pasamos  el  2  dividiendo

x = 4 : 2                 resuelvo

x = 2

 

Verificación:

  Para  saber  si   la  solución  es  la  correcta   reemplazamos  el  valor  de  x  en  la  igualdad

  2 . 2 = 4

  4  =  4      Se  verifica

 

  EJEMPLO  2:

 

-2 x  =  4                ¡¡¡ CUIDADDO !!! El  -2  pasa  dividiendo  con  su  signo  porque  está multiplicando  y  la  operación  inversa  es  la división.                                                                                                                                                           

x = 4 : (-2)                resuelvo

x =  -2

 

Verificación:

  Para  saber  si   la  solución  es  la  correcta   reemplazamos  el  valor  de  x  en  la  igualdad

  -2 . (-2) = 4

  4  =  4      Se  verifica

 

  EJEMPLO  3:

 

 x : 2  =  4              Pasamos  el  2  multiplicando

x = 4 . 2                 resuelvo

x = 8

 

Verificación:

  Para  saber  si   la  solución  es  la  correcta   reemplazamos  el  valor  de  x  en  la  igualdad

  8 : 2 = 4

  4  =  4      Se  verifica

 

EJEMPLO  4:

 

x : (-2)  =  4         ¡¡¡ CUIDADDO !!! El  -2  pasa multiplicando con  su signo porque está  dividiendo y  la  operación  inversa  es  la  multiplicación

x = 4 . (-2)                resuelvo

x =  -8

 

Verificación:

 

Para  saber  si   la  solución  es  la  correcta   reemplazamos  el  valor  de  x  en  la  igualdad

 

-8 . (-2) = 4

        4  =  4      Se  verifica

 

Ejercitacion:

1)  2 x = -4

 

2)  x : (-3) = 6

 

3)  -3. x =  18

 

4)  x .(-4)  =  16

 

5)  x : (-5)  =  -4

 

6)  3 x  =  9

 

7)  5 x = 25

x = -2

 

x = -18

 

x = -6

 

x = -2

 

x = 20

 

x = 3

 

x = 5

 

C)  Cuando  la incógnita  está  siendo  multiplicada  y  dividida  por  un número  y  además  sumada  o  restada  por  otros,  primero  se  pasan  los  números  que  suman  o  restan  y  después  los que  multiplican  o  dividen.

 

  EJEMPLO 1:

 

2x + 3 - 1 = 6                Pasamos  el  3 restando y  el  1  sumando

         2x  =  6 - 3 + 1     Resuelvo

         2x  =  4                El 2  pasa  dividiendo

           x  =  4 : 2

           x  =  2

Verificación:

 

Para  verificar  reemplazo  en  la  ecuación  el  valor  hallado

 

2 . 2  + 3 - 1 =  6

   4    + 3 - 1 =  6

               6   =  6           Queda  verificada  la  solución.

 

 

D) Cuando en la ecuación hay varias incógnitas multiplicadas o divididas por un número de un miembro de la igualdad y del otro, acompañados con sumas o restas de números. Se separan en términos de ambos lados de la igualdad, y se transponen a un miembro de la igualdad, los números que multiplican a la incógnita, y al otro, los números solos. Ejemplo:


  Primer paso, separo en términos:

El 2 y el 3 que son positivos en el primer miembro de la igualdad, los paso restando, al segundo:


 

El 5x que es negativo en el segundo miembro, lo paso positivo al primero:


 

Sumo las x del primer miembro, y los números del segundo:


Luego el 3 lo paso dividiendo, y me queda x=6/3; x=2

 

Comprobación:


 

  volver

Ejercicios:

 

 

  Resolver las siguientes ecuaciones y corroborar la solución encontrada:

 

  1)  4x-2=10              2)   6x-3=x+17           3)   2x+5=3

 

 

  4)  7x=4x+6              5)   2x=9+x              6)   6x=24-2x

 

 

  7)  10=15-5x             8)   x-8=4-x             9)   3x-10=18-x

 

 

  10) 7x-8=3x+4            11)  2-3x-5=5-8x+x       12)  x+2=3-2x+8

 

 

 

                               RESPUESTAS

 

 

 1) x=3                   2) x=4                   3) x=-1

 

 4) x=2                   5) x=9                   6) x=3

 

 7) x=1                   8) x=6                   9) x=7

 

 10) x=3                  11) x=2                  12) x=3

 

 

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Última modificación: 15 de Abril de 2001